BARISAN DAN DERET

-

Nama : Alika Azalia Putri

Kelas : XI IPS 2


BARISAN DAN DERET


A). Barisan dan Deret aritmatika

       barisan aritmatika adalah suatu baris di mana nilai pada masing-masing sukunya diperoleh dari suku sebelumnya lewat penjumlahan atau pengurangan dengan suatu bilangan b.

Lebih lanjut, selisih antara nilai suku-suku saling berdekatan dan selalu sama, yakni b. Misalnya:

Un – U(n-1) = b

Deret aritmatika adalah suatu penjumlahan antar suku-suku dari sebuah barisan aritmatika. Untuk penjumlahan dari suku-suku pertama hingga suku ke-n barisan aritmatika tersebut bisa dihitung sebagai:

Sn = U1 + U2 + U3 + …. + U(n-1) 

atau

Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + …. + (a + (n – 2)b) + (a + (n – 1)b)

 

Rumus 

    •Barisan Aritmatika

      untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika:
Un = a + (n – 1)b atau Un = Un-1 + b

Selain mencari rumus suku ke-n, adapun rumus yang digunakan untuk mencari nilai tengah dari sebuah barisan aritmatika, yakni:
Ut = ½ (a + Un)

Keterangan:
Un = suku ke-n
a = U1
Un-1 = suku sebelum suku ke-n
b = beda

     •deret aritmatika

          untuk lebih jelasnya, berikut rumus deret aritmatika, yakni:

Sn = n/2 (a + Un) = n/2(2a + (n – 1)b)


Berdasarkan rumus tersebut, dapat ditemukan suku ke-n dengan cara berikut ini, yaitu:

Un = Sn – Sn-1


Keterangan:

Un = suku ke-n

a = U1

Un-1 = suku sebelum suku ke-n

b = beda


Contoh soal 

    •Barisan aritmatika

         1. Suku ke-40 dari barisan 7, 5, 3, 1, … adalah …

Diketahui:

a = 7

b = -2

Jawaban:

Un = a + (n - 1)b

U40 = 7 + (40-1)(-2)

= 7 + 39 . (-2)

= 7 + (-78)

= – 71

Jadi, suku ke-40 barisan aritmatika tersebut adalah –71.

       2.Dalam suatu gedung pertunjukkan disusun kursi dengan baris paling depan terdiri dari 12 kursi, baris kedua berisi 14 kursi, baris ketiga berisi 16 kursi, dan seterusnya. Banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah …

Diketahui:

a = 12

b = 2

Jawaban:

Un = a + (n - 1)b

U20 = 12 + (20-1)2

= 12 + (9)2

= 12 + 38

= 50

Jadi, banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah 50 kursi.


       •Deret aritmatika 

           1.Suatu bentuk deret aritmatika adalah 5, 15, 25, 35, …. Berapakah jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika tersebut?

Diketahui:

n = 10

U1 = a = 5

b = 15 – 5 = 25 – 15 = 10

Jawaban:

Sn = (2a + (n-1) b )

S10 = ( 2. 5 + (10 -1) 10)

= 5 ( 10 + 9.10)

= 5 x 100 = 500

Jadi, jumlah S10 dalam deret aritmatika tersebut, yakni 500.

          2.Hitunglah jumlah nilai suku ke-4 (S4) deret aritmatika apabila terdapat angka : 4, 8,16,..?

Diketahui:

a = 4

b = 8-4 = 4

n = 4

Jawaban:

Un = a + (n-1) b

Un = 4 + (4-1)4

Un = 4 + 12

Un = 16

Lantas, berapa jumlah Sn?

Sn = 1/2 n ( a + Un )

S4 = 1/2 .4 (4 +16)

S4 = 4/2 (20)

S4 = 40

Jadi, jumlah nilai suku ke-5 pada deret aritmatika adalah 40.


B). Barisan dan Deret geometri 

        Barisan geometri adalah pola yang memiliki pengali atau rasio yang tetap untuk setiap 2 suku yang berdekatan. Rasio pada barisan geometri biasa disimbolkan dengan r. Barisan geometri juga biasa disebut sebagai barisan ukur

        Sedangkan deret adalah penjumlahan dari suku-suku yang ada di dalam suatu barisan tertentu. Deret ini biasanya disimbolkan dengan Sn;


      Rumus

          •barisan geometri 


Untuk bisa mengetahui bahwa nilai suku ke n dari suatu barisan geomtri bisa di ketahui dengan mengetahui nilai dari suku ke k dan rasio antara suku yang saling berdekata / r rumusnya akan sebagai berikut:


Apabila yang kalian ketahui ialah nilai dari suku pertama Uk = a dan rasio dari antar sukunya / r , maka nilai dari k = 1 dan nilai Un ialah




          •deretan geometri 

                Rumus untuk menentukan suku ke-n dari deretan geometri:

Atau bisa juga dihitung sebagai berikut:

Apabila hanya diketahui nilai a maka suku pertama dan nilai dari Un ialah suku ke n, maka nantinya nilai deret aritmatikannya ialah :

Dengan syarat bahwa r > 1

Dari persamaan tersebut bisa kalian balik untuk bisa mencari nilai dari suku ke n, yaitu cara untuk mendapatkannya sama dengan deret aritmatika dengan rumus :


Contoh soal 

          • Barisan geometri

                 1, 2, 4, 8, 16, 31, …, …

Dari barisan di atas, diketahui:

a = U1 = 1

r = 2 : 1 = 2 atau 4 : 2 = 2

n = 10

dengan demikian:

Jadi, banyaknya amoeba di pembelahan ke-10 adalah 512.


            •deret geometri 

       Farhan memiliki seutas tali. Lalu, tali tersebut dipotong menjadi 5 bagian dengan ketentuan, setiap potongan merupakan kelipatan potongan sebelumnya dan nilai kelipatan itu selalu tetap. Potongan tali yang paling pendeknya adalah 3 cm dan potongan tali terpanjangnya 243 cm. Berapakah panjang tali mula-mula?

Pembahasan:


Diketahui:

U1 = a = 3 cm

U5 = 243

Ditanya: Sn =…?

Jawab:

Mula-mula, kamu harus mencari rasio setiap potongan tali tersebut menggunakan SUPER “Solusi Quipper” berikut.

Lalu, tentukan panjang tali menggunakan rumus deret geometri untuk r > 1.

Jadi, panjang tali Farhan mula-mula adalah 363 cm atau 3,63 m.

 

C). BUNGA , PENYUSUTAN, PERTUMBUHAN ,PELURUHAN DAN BUNGA ANUITAS

         •Bunga

             Bunga adalah jasa dari simpanan atau pinjaman yang dibayarkan pada akhir suatu jangka waktu yang ditentukan atas persetujuan bersama.

Pengertian dan Konsep Bunga Majemuk

Jika kita menyimpan modal berupa uang di bank selama periode bunga tertentu, misalnya satu tahun maka setelah satu tahun kita akan mendapatkan bunga sebesar p % kali modal yang kita bungakan. Jika bunga itu tidak kita ambil, tetapi ditambahkan pada modal awal untuk dibungakan lagi pada periode berikutnya, sehingga besarnya bunga pada setiap periode berikutnya berbeda jumlahnya (menjadi bunga berbunga), maka dikatakan modal tersebut dibungakan atas dasar bunga majemuk.

Perbedaan Bunga Tunggal dan Bunga Majemuk

Bunga tunggal dihitung berdasarkan modal yang sama setiap periode sedangkan bunga majemuk dihitung berdasarkan modal awal yang sudah ditambahkan dengan bunga.







 
       •Anuitas
           yaitu sistem pembayaran atau penerimaan secara berurutan dengan jumlah serta waktu yang tetap /tertentu. Apabila sebuah pinjaman dikembalikan secara anuitas, maka ada tiga hal yang menjadi dasar dari perhitungannya, yakni;

1. Besarnya pinjaman,

2. Besarnya bunga, dan 

3, besarnya waktu serta jumlah periode pembayaran

Anuitas diberikan secara tetap untuk tiap akhir periode yang fungsinya membayar bunga atas hutang, dan mengangsur hutang itu sendiri, sehingga perhitungannya;

Anuitas = Bunga atas hutang + Angsuran hutang

Jika hutang sebesar M0 = Memperoleh bunga sebesar b per bulannya dengan anuitas sebesar A, maka bisa ditentukan:

Besarnya bunga pada periode ke-n;


Besar angsuran pada akhir periode ke-n: ditentukan dengan;

dan sisa hutang pada akhir periode ke-n;



Besar angsuran pada akhir periode ke-n: ditentukan dengan;



dan sisa hutang pada akhir periode ke-n;


        •Pertumbuhan
            yaitu pertambahan atau kenaikan nilai suatu besaran terhadap besaran yang sebelumnya yang umumnya mengikuti pola aritmatika (linier) atau geometri (eksponensial). 

Contoh dari pertumbuhan misalnya perkembangbiakan amoeba dan pertumbuhan penduduk.


Rumus pertumbuhan linear;

Sedangkan rumus pertumbuhan eksponensial


Keterangan;


Pn = nilai besaran setelah n periode

P0 = nilai besaran pada awal periode

b = tingkat pertumbuhan

n = banyaknya periode pertumbuhan


Contoh Soal


Pada telapak tangan yang kotor, bakteri dapat mengalami peningkatan 4% secara eksponensial untuk 2 jam sekali. Saat ini terdapat bakteri sebanyak 200.000 pada telapak tangan tersebut. Hitunglah banyaknya bakteri setelah 2 jam kemudian!


Jawab;


P0 = 200.000

b = 4% = 0,04

n = 2 jam


Banyaknya bakteri setelah 2 jam;


Pn = P0 (1+b)n

P2 = 200.000 (1 + 0,04)2

P2 = 200.000 (1,0816)

P2 = 216.320 bakteri



        •Peluruhan

      yaitu berkurangnya nilai atau penurunan suatu besaran terhadap nilai besaran yang sebelumnya, yang umumnya mengikuti pola aritmatika (linier) atau geometri (eksponensial). Peluruhan misalnya, peluruhan zat radioaktif dan penurunan harga jual mobil.


Rumus peluruhan linear;

Rumus peluruhan eksponensial;


Keterangan;

Pn = nilai besaran setelah n periode
P0 = nilai besaran pada awal periode
b = tingkat peluruhan
n = banyaknya periode pertumbuhan

Contoh soal

Banyaknya penduduk di suatu kota setiap tahun mengalami kenaikan 1% dari total penduduk di tahun sebelumnya. Menurut sensus penduduk tahun 2009, penduduk di kota tersebut sebanyak 100.000 orang. Hitunglah jumlah penduduk pada tahun 2010 dan 2020!

Diketahui : n = 2020 – 2009 = 11

M = 100.000

Ditanya : Mn 2010 dan Mn 2020?

Jawab :

Mn 2020 = M ( 1+i ) n

= 100.000 ( 1 + 1/100) 11

= 100.000 ( 1,115668347)

= 111.567 orang

Mn 2010 = 100.000 . 1/100

= 1.000 + 100.000

= 101.000 orang


Daftar pustaka 

https://www.quipper.com/id/blog/mapel/matematika/barisan-dan-deret-geometri/

https://www.pinhome.id/blog/barisan-dan-deret/

https://akupintar.id/info-pintar/-/blogs/barisan-deret-aritmetika-dan-geometri-pengertian-rumus-dan-contoh-soal

https://rumushitung.com/2021/04/16/bunga-pertumbuhan-peluruhan-pengertian-jenis-dan-rumusnya/

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Persamaan dan Pertidaksamaan irasional

-
 nama : Alika Azalia Putri  kelas : X IPS 1 absen : 2 Pengertian Apa itu persamaan irasional? Persamaan irasional adalah suatu persamaan yang mengandung variabel dibawah tanda akar. Adapun contoh persamaan irasional adalah sebagai berikut: 1). x+1−−−−−√=3 2). x−x−1−−−−−√=−3 3). x2−1−−−−−√=2x2−5−−−−−−√ Persamaan dan pertidaksamaan irasional mempunyai syarat yang harus dipenuhi agar bisa terdefinisi, yaitu fungsi dibawah tanda akar harus lebih besar atau sama dengan nol. f(x)−−−−√ dengan f(x)≥0 Kalau nilai dari f(x) negatif maka bukan lagi irasional, tapi sudah menjadi imajiner. Apa itu pertidaksamaan irasional ? Pertidaksamaan irasional adalah suatu pertidaksamaan yang mengandung variabel dibawah tanda akar. Adapun cara menyelesaikan pertidaksamaan irasional adalah sebagai berikut: Cara penyelesaian Cara Menyelesaikan Persamaan Irasional 1). Kuadratkan kedua ruas (ruas kiri dan ruas kanan) 2). Kumpulkan yang mengandung variabel disebelah kiri sedangkan yang tidak disebelah kanan, atau s
Baca selengkapnya

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN RASIONAL

-
 nama : Alika Azalia Putri kelas : X IPS 1 persamaan dan pertidaksamaan rasional pengertian persamaan dan pertidaksamaan rasional Persamaan rasional didefinisikan sebagai persamaan suatu pecahan dengan satu atau lebih variabel (x) pada pembilang atau penyebutnya. Sedangkan pertidaksamaan rasional adalah persamaan pecahan dengan notasi kurang dari, lebih dari, kurang dari sama dengan dan lebih dari sama dengan. Langkah Langkah penyebab persamaan dan pertidaksamaan rasional Untuk bisa menjawab soal persamaan rasional, kemampuan yang mesti kita miliki adalah perkalian silang dan pindah ruas bilangan. Seperti kita ketahui ketika kita pindah ruas bilangan positif dari kanan ke kiri maka tanda positif menjadi negatif dan sebaliknya.  Sedangkan pemecahan soal pertidaksamaan rasional dapat dilakukan dengan langkah-langkah dibawah ini: Tentukan syarat pertidaksamaan. Tentukan pembuat nol Buat garis bilangan Tentukan interval yang memenuhi berdasarkan garis bilangan contoh soal  Contoh soal pers
Baca selengkapnya

TURUNAN FUNGSI ALJABAR

-
Gambar
 Nama : Alika Azalia Putri Kelas : XI IPS 2 TURUNAN FUNGSI ALJABAR A) . TURUNAN FUNGSI ALJABAR DAN RUMUSNYA        •Apa itu turunan fungsi aljabar ???           Turunan fungsi aljabar adalah fungsi baru hasil penurunan pangkat dari fungsi sebelumnya menurut aturan yang telah ditetapkan. Jika diimplementasikan di dalam grafik fungsi, turunan ini merupakan gradien garis singgung terhadap grafik di titik tertentu. Tingkat turunan fungsi tidak terbatas pada satu tingkat saja, tetapi juga bisa dua tingkat, tiga tingkat, dan seterusnya. Konsep turunan setiap tingkatnya juga sama. Hanya saja, fungsi yang diturunkan berbeda-beda karena mengacu pada hasil turunan sebelumnya.       •Rumus Turunan Fungsi Aljabar Persamaan turunan yang memuat fungsi limit efektif digunakan untuk persamaan fungsi linear atau pangkat 1. Namun, rumus tersebut kurang efektif jika digunakan pada persamaan fungsi aljabar yang derajat polinomnya lebih dari 1 (pangkat lebih dari 1). Untuk itu, kamu bisa menggunakan rumus
Baca selengkapnya