BARISAN DAN DERET
Nama : Alika Azalia Putri
Kelas : XI IPS 2
BARISAN DAN DERET
A). Barisan dan Deret aritmatika
barisan aritmatika adalah suatu baris di mana nilai pada masing-masing sukunya diperoleh dari suku sebelumnya lewat penjumlahan atau pengurangan dengan suatu bilangan b.
Lebih lanjut, selisih antara nilai suku-suku saling berdekatan dan selalu sama, yakni b. Misalnya:
Un – U(n-1) = b
Deret aritmatika adalah suatu penjumlahan antar suku-suku dari sebuah barisan aritmatika. Untuk penjumlahan dari suku-suku pertama hingga suku ke-n barisan aritmatika tersebut bisa dihitung sebagai:
Sn = U1 + U2 + U3 + …. + U(n-1)
atau
Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + …. + (a + (n – 2)b) + (a + (n – 1)b)
Rumus
•Barisan Aritmatika
•deret aritmatika
untuk lebih jelasnya, berikut rumus deret aritmatika, yakni:
Sn = n/2 (a + Un) = n/2(2a + (n – 1)b)
Berdasarkan rumus tersebut, dapat ditemukan suku ke-n dengan cara berikut ini, yaitu:
Un = Sn – Sn-1
Keterangan:
Un = suku ke-n
a = U1
Un-1 = suku sebelum suku ke-n
b = beda
Contoh soal
•Barisan aritmatika
1. Suku ke-40 dari barisan 7, 5, 3, 1, … adalah …
Diketahui:
a = 7
b = -2
Jawaban:
Un = a + (n - 1)b
U40 = 7 + (40-1)(-2)
= 7 + 39 . (-2)
= 7 + (-78)
= – 71
Jadi, suku ke-40 barisan aritmatika tersebut adalah –71.
2.Dalam suatu gedung pertunjukkan disusun kursi dengan baris paling depan terdiri dari 12 kursi, baris kedua berisi 14 kursi, baris ketiga berisi 16 kursi, dan seterusnya. Banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah …
Diketahui:
a = 12
b = 2
Jawaban:
Un = a + (n - 1)b
U20 = 12 + (20-1)2
= 12 + (9)2
= 12 + 38
= 50
Jadi, banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah 50 kursi.
•Deret aritmatika
1.Suatu bentuk deret aritmatika adalah 5, 15, 25, 35, …. Berapakah jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika tersebut?
Diketahui:
n = 10
U1 = a = 5
b = 15 – 5 = 25 – 15 = 10
Jawaban:
Sn = (2a + (n-1) b )
S10 = ( 2. 5 + (10 -1) 10)
= 5 ( 10 + 9.10)
= 5 x 100 = 500
Jadi, jumlah S10 dalam deret aritmatika tersebut, yakni 500.
2.Hitunglah jumlah nilai suku ke-4 (S4) deret aritmatika apabila terdapat angka : 4, 8,16,..?
Diketahui:
a = 4
b = 8-4 = 4
n = 4
Jawaban:
Un = a + (n-1) b
Un = 4 + (4-1)4
Un = 4 + 12
Un = 16
Lantas, berapa jumlah Sn?
Sn = 1/2 n ( a + Un )
S4 = 1/2 .4 (4 +16)
S4 = 4/2 (20)
S4 = 40
Jadi, jumlah nilai suku ke-5 pada deret aritmatika adalah 40.
B). Barisan dan Deret geometri
Barisan geometri adalah pola yang memiliki pengali atau rasio yang tetap untuk setiap 2 suku yang berdekatan. Rasio pada barisan geometri biasa disimbolkan dengan r. Barisan geometri juga biasa disebut sebagai barisan ukur
Sedangkan deret adalah penjumlahan dari suku-suku yang ada di dalam suatu barisan tertentu. Deret ini biasanya disimbolkan dengan Sn;
Rumus
•barisan geometri
Untuk bisa mengetahui bahwa nilai suku ke n dari suatu barisan geomtri bisa di ketahui dengan mengetahui nilai dari suku ke k dan rasio antara suku yang saling berdekata / r rumusnya akan sebagai berikut:
Apabila yang kalian ketahui ialah nilai dari suku pertama Uk = a dan rasio dari antar sukunya / r , maka nilai dari k = 1 dan nilai Un ialah
•deretan geometri
Rumus untuk menentukan suku ke-n dari deretan geometri:
Apabila hanya diketahui nilai a maka suku pertama dan nilai dari Un ialah suku ke n, maka nantinya nilai deret aritmatikannya ialah :
Dengan syarat bahwa r > 1
Dari persamaan tersebut bisa kalian balik untuk bisa mencari nilai dari suku ke n, yaitu cara untuk mendapatkannya sama dengan deret aritmatika dengan rumus :
Contoh soal
• Barisan geometri
1, 2, 4, 8, 16, 31, …, …
Dari barisan di atas, diketahui:
a = U1 = 1
r = 2 : 1 = 2 atau 4 : 2 = 2
n = 10
dengan demikian:
Jadi, banyaknya amoeba di pembelahan ke-10 adalah 512.
•deret geometri
Farhan memiliki seutas tali. Lalu, tali tersebut dipotong menjadi 5 bagian dengan ketentuan, setiap potongan merupakan kelipatan potongan sebelumnya dan nilai kelipatan itu selalu tetap. Potongan tali yang paling pendeknya adalah 3 cm dan potongan tali terpanjangnya 243 cm. Berapakah panjang tali mula-mula?
Pembahasan:
Diketahui:
U1 = a = 3 cm
U5 = 243
Ditanya: Sn =…?
Jawab:
Mula-mula, kamu harus mencari rasio setiap potongan tali tersebut menggunakan SUPER “Solusi Quipper” berikut.
Lalu, tentukan panjang tali menggunakan rumus deret geometri untuk r > 1.
Jadi, panjang tali Farhan mula-mula adalah 363 cm atau 3,63 m.
C). BUNGA , PENYUSUTAN, PERTUMBUHAN ,PELURUHAN DAN BUNGA ANUITAS
•Bunga
Bunga adalah jasa dari simpanan atau pinjaman yang dibayarkan pada akhir suatu jangka waktu yang ditentukan atas persetujuan bersama.
Pengertian dan Konsep Bunga Majemuk
Jika kita menyimpan modal berupa uang di bank selama periode bunga tertentu, misalnya satu tahun maka setelah satu tahun kita akan mendapatkan bunga sebesar p % kali modal yang kita bungakan. Jika bunga itu tidak kita ambil, tetapi ditambahkan pada modal awal untuk dibungakan lagi pada periode berikutnya, sehingga besarnya bunga pada setiap periode berikutnya berbeda jumlahnya (menjadi bunga berbunga), maka dikatakan modal tersebut dibungakan atas dasar bunga majemuk.
Perbedaan Bunga Tunggal dan Bunga Majemuk
Bunga tunggal dihitung berdasarkan modal yang sama setiap periode sedangkan bunga majemuk dihitung berdasarkan modal awal yang sudah ditambahkan dengan bunga.
.png){kind=small}
Sedangkan rumus pertumbuhan eksponensial
.png){kind=small}
Keterangan;
Pn = nilai besaran setelah n periode
P0 = nilai besaran pada awal periode
b = tingkat pertumbuhan
n = banyaknya periode pertumbuhan
Contoh Soal
Pada telapak tangan yang kotor, bakteri dapat mengalami peningkatan 4% secara eksponensial untuk 2 jam sekali. Saat ini terdapat bakteri sebanyak 200.000 pada telapak tangan tersebut. Hitunglah banyaknya bakteri setelah 2 jam kemudian!
Jawab;
P0 = 200.000
b = 4% = 0,04
n = 2 jam
Banyaknya bakteri setelah 2 jam;
Pn = P0 (1+b)n
P2 = 200.000 (1 + 0,04)2
P2 = 200.000 (1,0816)
P2 = 216.320 bakteri
•Peluruhan
yaitu berkurangnya nilai atau penurunan suatu besaran terhadap nilai besaran yang sebelumnya, yang umumnya mengikuti pola aritmatika (linier) atau geometri (eksponensial). Peluruhan misalnya, peluruhan zat radioaktif dan penurunan harga jual mobil.
Rumus peluruhan linear;
.png){kind=small}
.png){kind=small}
Contoh soal
Banyaknya penduduk di suatu kota setiap tahun mengalami kenaikan 1% dari total penduduk di tahun sebelumnya. Menurut sensus penduduk tahun 2009, penduduk di kota tersebut sebanyak 100.000 orang. Hitunglah jumlah penduduk pada tahun 2010 dan 2020!
Diketahui : n = 2020 – 2009 = 11
M = 100.000
Ditanya : Mn 2010 dan Mn 2020?
Jawab :
Mn 2020 = M ( 1+i ) n
= 100.000 ( 1 + 1/100) 11
= 100.000 ( 1,115668347)
= 111.567 orang
Mn 2010 = 100.000 . 1/100
= 1.000 + 100.000
= 101.000 orang
Daftar pustaka
https://www.quipper.com/id/blog/mapel/matematika/barisan-dan-deret-geometri/
https://www.pinhome.id/blog/barisan-dan-deret/
https://rumushitung.com/2021/04/16/bunga-pertumbuhan-peluruhan-pengertian-jenis-dan-rumusnya/
Komentar
Posting Komentar