TURUNAN FUNGSI ALJABAR

 Nama : Alika Azalia Putri

Kelas : XI IPS 2

TURUNAN FUNGSI ALJABAR

A) . TURUNAN FUNGSI ALJABAR DAN RUMUSNYA 

      •Apa itu turunan fungsi aljabar ???

          Turunan fungsi aljabar adalah fungsi baru hasil penurunan pangkat dari fungsi sebelumnya menurut aturan yang telah ditetapkan. Jika diimplementasikan di dalam grafik fungsi, turunan ini merupakan gradien garis singgung terhadap grafik di titik tertentu. Tingkat turunan fungsi tidak terbatas pada satu tingkat saja, tetapi juga bisa dua tingkat, tiga tingkat, dan seterusnya. Konsep turunan setiap tingkatnya juga sama. Hanya saja, fungsi yang diturunkan berbeda-beda karena mengacu pada hasil turunan sebelumnya.

      •Rumus Turunan Fungsi Aljabar

Persamaan turunan yang memuat fungsi limit efektif digunakan untuk persamaan fungsi linear atau pangkat 1. Namun, rumus tersebut kurang efektif jika digunakan pada persamaan fungsi aljabar yang derajat polinomnya lebih dari 1 (pangkat lebih dari 1). Untuk itu, kamu bisa menggunakan rumus-rumus berikut.

f(x) = b → f’(x) = 0

Suatu konstanta akan bernilai nol jika diturunkan, contoh f(x) = 15 → f’(x) = 0.

f(x) = bx → f’(x) = b

Jika variabel x diturunkan terhadap x, akan menghasilkan 1. Contoh:

f(x) = x → f’(x) = 1

f(x) = 2x → f’(x) = 2

f(x) = 5x – 3 →f’(x) = 5

f(x) = axn → f’(x) = naxn-1

Rumus di atas berlaku untuk turunan fungsi pangkat, ya. Saat menurunkan suatu fungsi, artinya kamu sedang mencari turunan pangkat dari fungsi tersebut atau pangkatnya menjadi lebih kecil. Misal, jika variabel x2 diturunkan terhadap x, maka derajat variabelnya akan berkurang 1 menjadi x. Jika variabel x3 diturunkan terhadap x, maka derajat variabelnya akan berkurang 1 menjadi x2 dan seterusnya. Perhatikan contoh berikut.

f(x) = 6x4 + 2x3 → f’(x) = (4)(6)x3 + (3)(2)x2 

                                        = 24x3 + 6x2

Turunan fungsi aljabar juga bisa dinyatakan dalam bentuk notasi Leibniz seperti berikut.

Contoh Turunan Fungsi Aljabar

Adapun contoh turunan fungsi aljabar adalah sebagai berikut.

Tentukan turunan fungsi aljabar akar berikut.

Pembahasan:

Pada soal di atas, berlaku aturan rantai turunan fungsi aljabar. Apa maksud aturan rantai turunan?

Mula-mula, kamu harus memisalkan 2x3 – 4x sebagai u(x). Dengan demikian, persamaannya menjadi:

Selanjutnya, tentukan hasil turunannya menggunakan sifat nomor 5.

Setelah mencari turunan u, kamu harus mencari turunan f(x).

 

B). PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA

       "garis singgung (disebut juga garis tangen) kurva bidang pada titik yang diketahui adalah garis lurus yang "hanya menyentuh" kurva pada titik tersebut." (wikipedia).

Dengan bahasa yang lebih sederhana dapat kita tuliskan garis singgung (tangent line) ialah garis yang hanya memiliki satu titik persekutuan (disebut sebagai titik singgung) dengan kurva.

Ilustrasi untuk persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) bisa digambarkan sebagai berikut

Nilai x1 = absis sedangkan y1 adalah ordinat. Hubungan antara absis dengan ordinat bisa dinyatakan dengan persamaan kurva, yaitu

y1 = f(x1)

Kemiringan garis (gradien =m) bisa dinyatakan dengan turunan y=f(x) di x1

m = f ‘(x1)

Selanjutnya persamaan garis singgung dengan gradien m dan melalui (x1, y1) bisa dinyatakan dengan

y — y1 = m(x — x1)

Contoh soal 

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x4 — 3x3 + 6x + 7 di titik yang berabsis 2

Jawab :

x = 2

y = x4 — 3x3 + 6x + 7

y = 24 — 3.23 + 6.2 + 7 = 16 — 24 + 12 + 7 = 11

m = y’ = 4x3 — 9x2 + 6 = 4.23 — 9.22 + 6 = 32 — 36 + 6 = 2

y — y1 = m(x — x1)

y — 11 = 2 (x — 2)

y — 11 = 2x — 4

y = 2x + 7

 

B). Persamaan garis singgung dan kurva

sebelum menginjak ke inti materi persamaan garis singgung kurva, kita rangkum kembali yuk ingatan kita tentang cara menentukan gradien dan persamaan garis lurus .

Gradien Garis disimbolkan dengan m

 dimana :

gradien pada persamaan garis y=mx+c

 adalah m

gradien pada persamaan garis ax+by=c

 adalah m=−ab

gradien jika diketahui dua titik (x1,y1)

 dan (x2,y2)

 adalah m=y2−y1x2−x1

Gradien dua garis lurus :

yang saling sejajar maka m1=m2

yang saling tegak lurus maka m1.m2=−1

Persamaan Garis Lurus :

Jika diketahui satu titik (x1,y1)

 dan gradien m

, maka persamaan garisnya : y−y1=m(x−x1)

Jika diketahui dua titik (x1,y1)

 dan (x2,y2)

 maka persamaan garisnya : y−y1y2−y1=x−x1x2−x1

Nah materi dasarnya di atas jangan sampai terlupa yah, sekarang kita masuk materi yang sesungguhnya…hehehe…

Perhatikan Gambar Grafik fungsi y=f(x)

Kemiringan (gradien) garis singgung kurva y=f(x)

 di titik A(a,f(a))

 adalah

m=f′(a)=limΔx→0f(a+Δx)−f(a)Δx

Persamaan garis lurus yang melalui titik (x1,y1)

 dengan gradien m

 adalah y−y1=m(x−x1)

 , sehingga

Persamaan Garis Singgung di titik (a,f(a))

 pada kurva adalah

y−f(a)=f′(a)(x−a)

ayooo langsung kita praktikkan…

Tentukan persamaan garis singgung kurva y=x2

 di titik (−1,1)

 !

Jawab :

cari m

 dulu di x=−1

mm====f′(a)2x2(−1)−2

maka persamaan garris singgung kurva dengan gradien m=−2

 di (−1,1)

 adalah:

y−y1y−1y−1y====m(x−x1)−2(x−(−1))−2x−2−2x−1

C). penggunaan turunan dan turunan kedua

Jadi, selain ngeliat grafik yang naik atau turun, salah satu cara mencari fungsinya itu juga bisa dari turunan.

Atau simpelnya gini, elo bakal nyari “sesuatu” yang berubah karena ada hal “baru”. Di sini, hal baru yang di maksud itu adalah nilai atau angka. Pas elo nyari perubahan itu, ada istilahnya juga nih namanya diferensiasi. 

Nah, turunan yang bakal dibahas di sini itu untuk fungsi aljabar.

Nah buat nyarinya, itu harus cari tahu dulu turunan pertamanya. Jadi harus berurutan dari turunan pertama, baru deh bisa ketemu yang kedua. Gini rumusnya:

f(x) = a → fˈ(x) = 0

f(x) = ax → fˈ(x) = a

f(x) = axⁿ → fˈ(x) = n x axⁿˉ¹

Sekarang, yuk coba lihat contohnya:

f(x) = x²+5x+3

fˈ(x) = 2x + 5 Nah, ini turunan pertamanya. 

f”(x) = 2 Dan (2) ini hasilnya.

Daftar pustaka:

https://www.zenius.net/blog/turunan-kedua

https://www.meetmath.com/materi-turunan-persamaan-garis-singgung-kurva.html